超幾何分布を利用してのビンゴの確率
前回saikeisai.hatenablog.comの続きです。
ビンゴの確率をちゃんと計算することを考えてみる。
まずは、のビンゴのマスとする。
最大の数を(75であることが多い)、呼ばれた番号の数をとする。
かんたんのために、まずはフリーマスなしで考える。
例えば、の場合は12本の線があるが、そのうちの一本でビンゴが起こる確率をとすると、
となる。これは超幾何分布の確率っぽくなっている。
どれか一本の線でビンゴが起こればいいので、ビンゴが起こる確率をとすると、
となる。
フリーマスがある場合には、
を用いて、
となる。
この式を用いて、計算された確率を赤線、シミュレーションを5万回やったときの図を添付する。
条件は、のフリーマスありで最大75である。
まあ同じ・・かな?
以下、前回も載せたところもかぶるけどシミュレーションコード
players<-50000 numrows <- numcols <- 5 maxNum <- 75 isfree <- TRUE # free : center all_bingo<-list() numBingoMatrix <- matrix(0,nrow=maxNum,ncol=players) countBingo <- function(bingo,numrows){ #bingo bingo matrix count <- 0 for(i in 1:numrows){ if(sum(bingo[,i])==0){ count <- count + 1 } } for(j in 1:numrows){ if(sum(bingo[j,])==0){ count <- count + 1 } } #antidiagonal if(sum(diag(apply(bingo,2,rev)))==0){ count <- count + 1 } if(sum(diag(bingo))==0){ count <- count + 1 } return(count) } for(i in 1:players){ bingo<-matrix( (sample(1:maxNum,size = numrows*numcols,replace=FALSE)),ncol=numcols,nrow=numrows) if(isfree){ bingo[(numcols+1)/2,(numrows+1)/2]<-0 } all_bingo<-c(all_bingo,list(bingo)) } skeleton <- all_bingo calls <- sample(1:maxNum,size = maxNum,replace=FALSE) bingoNum <- numeric(players) for(j in 1:maxNum){ unlisted <- unlist(all_bingo) unlisted[unlisted==calls[j]]<-0 all_bingo<-relist(flesh=unlisted,skeleton = skeleton) for(k in 1:players){ bingoNum[k] <- countBingo(all_bingo[[k]],numrows) } numBingoMatrix[j,]<-bingoNum } temp <- numBingoMatrix>0 numberOfHit<-apply(temp,1,sum) bingoProbability <- function(calls,maxNum,numrows,isfree){ p1 <- choose(maxNum-numrows,calls-numrows)/choose(maxNum,calls) p2 <- p1 if(isfree){ p2 <- choose(maxNum-numrows+1,calls+1-numrows)/choose(maxNum,calls) } p <- 1-((1-p1)^(numrows*2-2))*((1-p2)^4) return(p) } plot(numberOfHit/players,xlab="calls",ylab="cumulative probability") lines(bingoProbability(calls=1:75,maxNum = 75,numrows=5,isfree=isfree),col=2)